21.03.2026 14:17
Решение задачи о делении бактерий: от 10 до 2560 за 4 часа
Решение вчерашней задачки. Кратко напомню условие.
Ученый проводит эксперимент с колонией бактерий. В начале эксперимента (в 8:00 утра) он поместил в питательную среду 10 бактерий. Известно, что каждая из этих бактерий делится на две строго каждые 30 минут. Сколько бактерий окажется в пробирке ровно в 12:00 дня? И через сколько минут после начала эксперимента количество бактерий впервые превысит отметку в 100 000 особей?
А теперь решение.
Сначала ответим на первый вопрос. Тут всё просто, поэтому сделаем максимально наглядно, по действиям.
Сначала определяем, сколько длился эксперимент. С 8:00 до 12:00 прошло ровно 4 часа. Это восемь раз по полчаса, то есть 8 поколений (делений) бактерий.
Теперь найдём количество бактерий в 12 часов. Тут главное использовать правильную формулу. Если сначала у нас было 10 бактерий, через полчаса будет в два раза больше — 20. Через полчаса каждая из этих 20-ти бактерий снова поделится пополам, количество снова удвоится и так каждый раз.
Это геометрическая прогрессия. Поэтому мы должны изначальное число бактерий умножить на 2 восемь раз. Если записать по-умному, то получится N=N0•2^n. Но можно и проще: 10•2•2•2•2•2•2•2•2 = 10•256 = 2560. То есть в 12:00 в пробирке окажется 2560 бактерий.
Теперь отвечаем на второй вопрос. Тут немножечко сложнее. Нам нужно, чтобы количество бактерий перевалило за 100 000, то есть 10•2^n > 100 000. На 10 можно сократить: 2^n > 10 000.
Такое уравнений можно решить либо подбором, либо через логарифм. Предлагаю прологарифмировать, используя десятичный логарифм. По свойству логарифма n из показателя превращается в множитель и неравенство выглядит так: n⋅lg2>lg10000.
lg10000=4 (так как 10^4=10000)
lg2≈0,301 (это табличное значение)
Получается, что n = 4/0.301 ≈ 13.33.
Нам нужно округлить в большую сторону до целого числа, поэтому получаем, что для того, чтоб в пробирке стало больше ста тысяч бактерий, должно произойти 14 делений (поколений). Так как одно деления проходит раз в полчаса, стало быть нам нужно 7 часов (420 минут).
Иначе говоря, если старт был в 8:00, то 100 000 (а если быть точным, то 163 840) бактерий будет в 15:00.
Если подытожить, то в 12:00 в пробирке окажется 2560 бактерий, а больше 100 000 бактерий станет через 420 минут.
Как вам задачка? Смогли решить сами? А ведь вы наверняка были уверены, что логарифмы в реальной жизни вам не понадобятся, да?
Ученый проводит эксперимент с колонией бактерий. В начале эксперимента (в 8:00 утра) он поместил в питательную среду 10 бактерий. Известно, что каждая из этих бактерий делится на две строго каждые 30 минут. Сколько бактерий окажется в пробирке ровно в 12:00 дня? И через сколько минут после начала эксперимента количество бактерий впервые превысит отметку в 100 000 особей?
А теперь решение.
Сначала ответим на первый вопрос. Тут всё просто, поэтому сделаем максимально наглядно, по действиям.
Сначала определяем, сколько длился эксперимент. С 8:00 до 12:00 прошло ровно 4 часа. Это восемь раз по полчаса, то есть 8 поколений (делений) бактерий.
Теперь найдём количество бактерий в 12 часов. Тут главное использовать правильную формулу. Если сначала у нас было 10 бактерий, через полчаса будет в два раза больше — 20. Через полчаса каждая из этих 20-ти бактерий снова поделится пополам, количество снова удвоится и так каждый раз.
Это геометрическая прогрессия. Поэтому мы должны изначальное число бактерий умножить на 2 восемь раз. Если записать по-умному, то получится N=N0•2^n. Но можно и проще: 10•2•2•2•2•2•2•2•2 = 10•256 = 2560. То есть в 12:00 в пробирке окажется 2560 бактерий.
Теперь отвечаем на второй вопрос. Тут немножечко сложнее. Нам нужно, чтобы количество бактерий перевалило за 100 000, то есть 10•2^n > 100 000. На 10 можно сократить: 2^n > 10 000.
Такое уравнений можно решить либо подбором, либо через логарифм. Предлагаю прологарифмировать, используя десятичный логарифм. По свойству логарифма n из показателя превращается в множитель и неравенство выглядит так: n⋅lg2>lg10000.
lg10000=4 (так как 10^4=10000)
lg2≈0,301 (это табличное значение)
Получается, что n = 4/0.301 ≈ 13.33.
Нам нужно округлить в большую сторону до целого числа, поэтому получаем, что для того, чтоб в пробирке стало больше ста тысяч бактерий, должно произойти 14 делений (поколений). Так как одно деления проходит раз в полчаса, стало быть нам нужно 7 часов (420 минут).
Иначе говоря, если старт был в 8:00, то 100 000 (а если быть точным, то 163 840) бактерий будет в 15:00.
Если подытожить, то в 12:00 в пробирке окажется 2560 бактерий, а больше 100 000 бактерий станет через 420 минут.
Как вам задачка? Смогли решить сами? А ведь вы наверняка были уверены, что логарифмы в реальной жизни вам не понадобятся, да?