надо ли как-то сообщать в ГАИ о смене адреса регистрации, если вы переехали в другой регион?
всё зависит не от вашего желания, а от Правил. Пункт №7 Правил государственной регистрации транспортных средств требует от владельцев ТС в 10-дневный срок подать в ГИБДД заявление о смене места жительства (т.к. эти данные относятся к регистрационным данным ТС, которые подлежат к внесению изменений). Если не сообщите об изменениях, то заплатите штраф от 1500 до 2000 рублей.
Кстати, приготовьтесь - вам выдадут новые номерные знаки.
Минтранс в МАХ